Halaman
Relasi dan FungsiStandar KompetensiMemahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar1.3 Memhami relasi dan fu ngsi1.4 Menentukan nilai fungsi. 1.5 Membuat sketsa grafik fungsi aljabar sederhana pada sistem koordinat Cartesius Bab 2
30 Bab. 2 FungsiMasih ingatkah kamu tentang materihimpunan? Coba beri contoh dua buahhimpunan Jika kamu lupa, sebaiknya kamupelajari kembali. Pemahaman tentanghimpunan diperlukan untuk dapat memahamimateri pada Bab 2 ini dengan baik.Pengertian RelasiPak Budi mempunyai lima orang anak, yaituRiska, Dimas, Candra, Dira, dan Reni. Masing-masing anak mempunyai kegemaran berolahraga yang berbeda-beda. Riska gemar berolahraga badminton dan renang. Dimas gemarberolah raga sepak bola. Candra gemar berolahraga sepak bola. Sedangkan Dira dan Renimempunyai kegemaran berolah raga yangsama yaitu basket dan badminton.Jika anak-anak Pak Budi dikelompokkan menjadi satu dalamhimpunan A, maka anggota dari himpunan A adalah Riska,Dimas, Candra, Dira, dan Reni. Himpunan A tersebut kitatuliskan sebagaiA = {Riska, Dimas, Candra, Dira, Reni}.Apa yang akan kamupelajari?Menjelaskan danmenyatakan masalahsehari-hari yangberkaitan dengan fungsiMenyatakan suatu fungsiyang terkait dengankejadian sehari-hari.Menggambar grafikfungsi dalam koordinatCartesiusKata Kunci:RelasiHimpunanAnggota himpunanDiagram PanahKoordinat CartesiusPasangan BerurutanSumber :www.flickr.com2.1RelasiA
Matematika SMP Kelas VIII 3 1Sedangkan jenis olah raga yang digemari anak-anak Pak Budidapat dikelompokkan dalam himpunan B. Himpunan BdituliskanB = {Badminton, Renang, Basket, Sepak bola}Terhadap kegemaran anak-anak pak Budi, terdapat hubunganantara himpunan A dan himpunan B. Hubungan tersebutberkait dengan gemar berolah raga dari anak-anak pak Budi.Riska gemar berolah raga badminton dan renangDimas gemar berolah ragasepakbolaCandra gemar berolah raga sepakbolaDira gemar berolah ragabadminton dan basketReni gemar berolah ragabadminton dan basketApabila gemar berolah raga kita notasikan dengan tandapanah, pernyataan-pernyataan di atas dapat digambarkansebagai gemar berolah ragaRiska Dimas Candra Dira Reni Badminton Renang Basket Sepakbola Gambar 2.1 Kita melihat antara anggota himpunan A dan anggota himpunaB memiliki hubungan (relasi) gemar berolahraga. Selanjutnyakita katakan terdapat relasi antara anggota himpunan A dananggota himpunan B, atau sering juga disebut relasi darihimpunan A ke himpun B.Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa :Tugas. Buat kelompok dengan anggota masing-masing 5orang. Buatlah relasi hobi dari masing-masing anggotakelompokmu.ABDefinisiRelasiRelasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B
32 Bab. 2 FungsiMenyatakan Relasi Dua Himpunan dengan Diagram PanahDiagram panah adalah diagram yang menggambarkanhubungan antara dua himpunan dengan disertai tanda panah.Seperti relasi pada Gambar 2.1.Marilah kita lihat contoh lain penggambaran relasi dengandiagram panah. Perhatikan soal cerita di bawah ini.Di kelas VIII SMPN I Banjarmasin, terdapat sebuah kelompokbelajar yang beranggotakan 4 orang, yaitu Ani, Adi, Ina, danIman. Ani mempunyai seorang adik yang bernama Budi. Adimempunyai dua orang adik bernama Surya dan Hani. Ina tidakmempunyai adik. Sedangkan Santi adik dari Iman.Coba tebak, relasi apa yang dinyatakan oleh cerita di atas?Benar! Relasi tentang adik dan kakak. Sekarang, mari kita buathimpunan yang berisi kakak dan himpunan yang berisi adik.Misal himpunan P menyatakan himpunan kakak, dan Qmenyatakan himpunan adik. Himpunan P mempunyai anggotaAni, Adi, Ina, dan Iman dan dituliskan dengan P = {Ani, Adi,Ina, Iman}, sedangkan himpunan Q adalah {Budi, Hani, Surya,Santi}. Jika kita tentukan relasi atau hubungan antara himpunanP dengan himpunan Q sebagai kakak dari, maka Anidihubungkan dengan Budi, artinya Ani kakak dari Budi, Adidihubungkan dengan Surya dan Hani, artinya Adi kakak dariSurya dan Hani. Sedangkan Ina tidak mempunyai adik. Imandihubungkan dengan Santi. Hubungan antara anggota-anggotahimpunan P dan Q dapat digambarkan sebagai berikut :Ani Adi Ina Iman Budi Surya Hani Santi Kakak dariGambar 2.2PQBerdasar contoh di atas tampak bahwa ada satu anggota P yaituIna yang tidak mempunyai hubungan dengan anggota Q.Relasi antara himpunan P dan himpunan Q adalah relasi kakakdari.B
Matematika SMP Kelas VIII 3 3Oleh karena itu lambang pada Gambar 2.2 menyatakanrelasi kakak dari. Bila dituliskan Ani Budi, artinya Anikakak dari Budi, Adi Surya, artinya Adi kakak dari Suryadan Adi Hani, artinya Adi kakak dari Hani dan seterusnya.1. Dapatkan kamu menemukan relasi lain antara anggota-anggota himpunan P dan anggota-anggota himpunan Qpada contoh di atas? Jika ada, sebutkan dan gambarkanrelasi tersebut!2. Buatlah contoh lain tentang relasi antara anggota-anggotadua himpunan yang kamu ketahui!Menyatakan Relasi Dua Himpunan dalam Koordinat CartesiusDalam menyatakan relasi antara anggota-anggota duahimpunan, selain dengan menggunakan diagram panahdapat juga dinyatakan dalam koordinat Cartesius.Jika kita menyebut kata “Cartesius”, yang kita ingat adalahbidang Cartesius yang mempunyai dua sumbu, yaitu sumbumendatar dan sumbu tegak.Demikian juga pada koordinat Cartesius, terdapat dua sumbuyang saling tegak lurus yaitu sumbu mendatar atau horisontaldan sumbu tegak atau vertikal.Pada Gambar 2.1 di atas, kita dapat menyatakan relasi antaraanggota himpunan A dan anggota himpunan B tersebut dalamkoordinat Cartesius.Nama anggota-anggota himpunan A diletakkan pada sumbumendatar dan nama anggota-anggota B diletakkan padasumbu tegak. Setiap anggota himpunan A yang berelasidengan anggota himpunan B dapat dinyatakan dengannoktah (•) atau dengan bintang (*). Jadi koordinat Cartesiusdari relasi tersebut adalah :C
34 Bab. 2 FungsiSepak bola Basket Renang Badminton Riska Dimas Candra Dira Reni xx2x3x4x5x7x6x8BA1Gambar 2. 3Relasi antara anggota himpunan A dan B adalah gemar berolahraga. Noktah 1 menghubungkan Riska dan badminton,artinya Riska gemar berolah raga badminton. Noktah 4menghubungkan Candra dan sepak bola, artinya Candragemar berolah raga sepak bola dan seterusnya.Diskusikan1. Coba gambarkan dalam koordinat Cartesius untuk relasidari himpunan P ke himpunan Q (pada Gambar 2.2)dengan anggota himpunan P diletakkan pada sumbumendatar dan anggota himpunan Q diletakkan padasumbu tegak.2. Gambarkan pula dalam koordinat Cartesius untuk relasidari himpunan P ke himpunan Q dengan nama anggotahimpunan P diletakkan pada sumbu tegak dan namaanggota himpunan Q diletakkan pada sumbu mendatar.3. Apa yang dapat kamu simpulkan dari (1) dan (2) ?Menyatakan Relasi Dua Himpunan dengan Pasangan BerurutanPasangan berurutan dilambangkan dengan (x,y) dengan xmenyatakan anggota suatu himpunan tertentu, sebut A, dany menyatakan anggota dari himpunan lain, sebut B. Padabagian ini kita akan menyatakan relasi sebagai himpunanpasangan berurutan (x,y). Pada bagian sebelumnya, relasiantara anggota dua himpunan dapat dinyatakan dengan dia-gram panah dan dalam koordinat Cartesius. Kita akanmengambil contoh pada Gambar 2.1, dan menyatakannyasebagai pasangan berurutan. Pada relasi gemar berolahraga diatas, kita memiliki himpunan penggemar olah raga A ={Riska, Dimas, Candra, Dira, Reni}, dan himpunan cabangolah raga B = {Badminton, Renang, Basket, Sepakbola}.D
Matematika SMP Kelas VIII 3 5Berdasarkan Gambar 2.1, relasi gemar berolahraga dituliskansebagai R = {(Riska, Renang), (Riska, Badminton), (Dimas,Sepakbola), (Candra, Sepakbola), (Dira, Badminton) , (Dira,Basket), (Reni, Badminton), (Reni, Basket)}.Diketahui P = {2, 3, 4, 5} dan Q = {4, 9, 25}.Tentukan contoh relasi dari P ke Q.Jawab:Relasi (R) antara anggota-anggota himpunan P dan Q adalahfaktor dari.Relasi di atas dapat dinyatakan dengan pasangan berurutanseperti berikut :(2, 4), artinya 2 faktor dari 4.(4, 4), artinya 4 faktor dari 4 dan seterusnya.Jadi himpunan pasangan berurutan dari relasi tersebut adalah:R = {(2, 4) , (3, 9) , (4, 4) , (5, 25)}.Pikirkan!1. Apakah ada relasi yang lain antara anggota-anggotahimpunan P dan Q di atas? Jika ada, nyatakan relasi tersebutdengan diagram panah, koordinat Cartesius dan pasanganberurutan.Tugas KelompokBentuk sebuah kelompok yang beranggotakan 5 orang. Ukurtinggi badan masing-masing anggota kelompokmu, catat tinggibadan tersebut (nyatakan dalam satuan cm).1. Dapatkah dibuat relasi antara anggota dalamkelompokmu dengan ukuran tinggi badan ?2. Jika dapat, apakah relasinya ?3. Nyatakan relasi tersebut dalam tiga cara, yaitu :a. Diagram Panah.b. Koordinat Cartesius.c. Pasangan Berurutan.Contoh 1Relasi antara himpunan X dan Y dapat dinyatakan sebagaihimpunan pasangan berurutan (x, y) dengan x anggotahimpunan pertama (X) dan y anggota himpunan kedua (Y).
36 Bab. 2 Fungsi1.Perhatikan relasi antara anggota-anggota dua himpunanyang dinyatakan dengan diagram panah di bawah ini.Sebutkan relasi-relasi tersebut.a.AB2 3 4 4 5 6 7 8 b.DE2. Buatlah diagram panah dari relasi tiga kalinya dari antaraK = {9, 12, 15, 21} dan L = {3, 4, 5, 7}3. Diketahui enam orang anak di kelas VIII SMP Palangkaraya,yaitu Dina, Alfa, Sita, Bima, Doni, dan Rudi. Merekamempunyai ukuran sepatu yang berbeda-beda. Dina danSita mempunyai ukuran sepatu yang sama yaitu nomor 38.Alfa mempunyai ukuran sepatu 37. Bima mempunyaiukuran sepatu nomor 40. Sedangkan Doni dan Rudimempunyai ukuran sepatu yang sama yaitu 39.a. Gambarlah diagram panah yang menghubungkan semuanama anak di kelas VIII SMP Palangkaraya dengan semuaukuran sepatunya.DenpasarKendariPadangSurabayaBaliJawa timurJawa BaratSulawesi tenggaraSumatera BaratLatihan 2.1
Matematika SMP Kelas VIII 3 7b. Gambarlah relasi tersebut dengan menggunakankoordinat Cartesius.c. Tulislah semua pasangan berurutan yang menyatakanrelasi tersebut.
38 Bab. 2 FungsiMenyatakan Bentuk FungsiPernahkah kamu merasakan rasa gula, garam,lada dan berbagai bahan dapur yang lainnya?Coba rasakan bagaimanakah rasa gula? Pastimanis. Bagaimanakah rasanya garam? Pasti asin,tidak ada garam yang rasanya manis.Bagaimanakah rasanya lada? Adakah lada yangrasanya tidak pedas? Adakah rasa cuka yangtidak asam ?Jika bahan-bahan dapur dikumpulkan dalam satuhimpunan yaitu A dan rasa dari bahan-bahandapur dikumpulkan dalam himpunan B, makarelasi apa yang dapat digunakan untukmenghubungkan himpunan A dan B ?Jika relasi yang digunakan untukmenghubungkan anggota-anggota himpunan Adengan anggota-anggota himpunan B adalahrasanya, maka relasi tersebut dapat dinyatakandengan diagram panah seperti berikut :Garam Gula Cuka LadaAsam Asin Pahit Manis Pedas rasanyaGambar 2.4ABApa yang akan kamupelajari?xMenyatakan suatu fungsiyang terkait dengankejadian sehari-harixMenggambar grafik fungsidalam koordinat Cartesius.Kata Kunci:xDaerah asalxDaerah kawanxDaerah hasilxPetaxPrapeta2.2Fungsi (Pemetaan)APerhatikan Gambar 2.4.Apakah setiap anggota himpunan A mempunyai hubungandengan anggota himpunan B ?
Matematika SMP Kelas VIII 3 9Apakah setiap anggota himpunan A mempunyai hubungandengan hanya satu anggota himpunan B ?Karena setiap anggota himpunan A mempunyai hubungandengan anggota himpunan B dan setiap anggota himpunan Ahanya mempunyai satu kawan anggota himpunan B, makarelasi dari himpunan A dan B disebut fungsi atau pemetaan.Relasi pada Gambar 2.4 merupakan fungsi (pemetaan). Dalamdiagram panah, garam dihubungkan oleh anak panah denganasin dan dituliskan sebagaigaram asin.Garam berada pada pangkal anak panah, sedangkan Asinberada pada ujung anak panah. Garam dipetakan pada asin,sehingga asin disebut sebagai peta dari garam. Asin dihasilkanoleh siapa, garam! Selanjutnya, dalam matematika garam seringdisebut sebagai prapeta dari asin.Pada notasi gula manis. Manis disebut peta dari guladan gula disebut prapeta dari manis.Coba jelaskan dengan bahasamu sendiri, notasi-notasi berikut:cuka asamlada pedasHimpunan-himpunan prapeta dan himpunan peta memilikiistilah sebagai berikut:A = {garam, gula, cuka, lada} disebut daerah asal atau domaindari fungsi.B = {asam, asin, pahit, manis, pedas} disebut daerah kawanatau kodomaindari fungsi.Himpunan {asam, asin, manis, pedas} disebut daerah hasil ataurangedari fungsi.Diskusikan dengan temanmu pertanyaan-pertanyaan berikut:Apakah setiap anggota daerah hasil merupakan peta darianggota himpunan A?Apakah semua peta dari anggota himpunan A menjadi anggotadaerah hasil?DefinisiFungsiFungsi dari himpunan A ke himpunan B adalahrelasi yang menghubungkan setiap anggotahimpunan A dengan tepat satu anggotahimpunan B.
40 Bab. 2 FungsiApakah daerah kawan pada fungsi di atas sama dengan daerahhasilnya?Perhatikan kesimpulan berikut:Sekarang kamu perhatikan diagram panah untuk relasi faktordari pada himpunan K = {2, 3, 4, 5} terhadap himpunan L = {4,9, 25} berikut ini.Notasi 2 4, dibaca2 faktor dari 4Notasi 3 9, dibaca3 faktor dari 9Tolong sebutkan yanglain!2 3 4 5 4 9 25KLfactor dari Gambar 2.5 Perhatikan Gambar 2.5 di atas.a.Apakah setiap anggota K mempunyai hubungan dengansatu anggota himpunan L?b.Apakah relasi tersebut merupakan fungsi?c.Jika relasi di atas merupakan fungsi, maka sebutkan daerahasal, daerah kawan, dan daerah hasilnya. Bagaimanahubungan antara daerah kawan dengan daerah hasil? Perhatikan diagram panah berikut :Ani Adi Ina Iman Budi SuryaHani Santi PQKakak dari Gambar 2.6Faktor dariDaerahHasilDaerah hasil adalah himpunan dari anggota daerah kawan yang mempunyai prapeta. Daerah hasil merupakan himpunan dari peta setiapanggota daerah asal. atau
Matematika SMP Kelas VIII 4 1Notasi Ani oBudi, dibaca Ani kakak dari Budi.Notasi Adi oSurya, dibaca Adi kakak dari Surya.Sebutkan anggota relasi yang lain!Perhatikan diagram panah pada Gambar 2.6 di atas.a.Apakah setiap anggota himpunan P mempunyai hubungandengan anggota himpunan Q ?b.Apakah setiap anggota himpunan P mempunyai hubungandengan tepat satu anggota himpunan Q?c.Apakah relasi tersebut merupakan fungsi?Untuk menjawab pertanyaan ( c ), kamu harus memperhatikan(a) dan (b).Karena ada satu anggota himpunan P yaitu Ina tidakmempunyai hubungan dengan satupun anggota himpunan Q,maka relasi kakak dari dari himpunan P ke himpunan Q bukanfungsi.Adakah alasan lain yang dapat kamu temukan untukmemperkuat simpulan di atas ?Untuk melihat apakah suatu relasi antara dua himpunanadalah fungsi, yang perlu diperhatikan adalah setiap anggotadaerah asal harus mempunyai hubungan dengan satu sajaanggota daerah kawan.Karena fungsi merupakan relasi yang mempunyai ciri khusus,maka fungsi dapat dinyatakan juga dalam bentuk:a.diagram panah,b.koordinat Cartesius,c.himpunan pasangan berurutan.Koordinat Cartesius untuk fungsi dari himpunan A kehimpunan B, pada Gambar 2.4 di atas adalah
42 Bab. 2 FungsiGulaCukaLadaAsam Asin Pahit Manis Pedas B A Gambar 2.7GaramPada gambar di atas tampak bahwa setiap nama pada sumbumendatar hanya mempunyai satu pasangan dengan nama padasumbu tegak.Dari koordinat Cartesius pada gambar di atas, fungsi darihimpunan A ke himpunan B dapat pula dinyatakan denganpasangan berurutan sebagai berikut :{(garam, asin) , (gula, manis) , (cuka, asam) , (lada, pedas)}Susunlah beberapa relasi dalam kehidupan sehari-hari yangmerupakan fungsi.Nyatakan fungsi (pemetaan) tersebut dengan diagram panah,koordinat Cartesius dan himpunan pasangan berurutan.Tugas KelompokBuat kelompok yang beranggotakan 5 orang teman sekelasmu.Catat ukuran sepatu dari masing-masing anggota kelompok.Hati-hati dalam memilih himpunan yang menempati sumbuhorizontal(datar) dan sumbu vertikal (tegak) koordinatCartesisus . Penyajian koordinat Cartesius untuk fungsi, sumbudatar untuk daerah asal (domain) dan sumbu vertikal untukdaerah kawan (kodomain).
Matematika SMP Kelas VIII 4 3a.Misal A = himpunan dari nama anggota kelompok.B = himpunan dari nomor sepatu anggota kelompok.Tuliskan Himpunan A dan Himpunan B!b.Buatlah relasi dari himpunan A ke himpunan B!c.Apakah relasi tersebut merupakan fungsi (pemetaan)?d.Jika merupakan pemetaan, nyatakan fungsi (pemetaan)tersebute.Dengan diagram panah, koordinat Cartesius, danhimpunan pasangan berurutanDiketahui A = {Anto}, B = {Dira, Reni}, C = { Anto, Dira, Reni}dan D = { SMP Harapan, SMP Unggul}a.Gambarkan diagram panah dari himpunan A ke D yangmerupakan fungsi.b.Gambarkan diagram panah dari himpunan B ke D yangmerupakan fungsi.c.Gambarkan diagram panah dari himpunan C ke D yangmerupakan fungsi.d.Kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh?Jika ibukota propinsi yang terdapat di pulau Kalimantandikelompokkan dalam himpunan A dan propinsi yang terdapatdi pulau Kalimantan dikelompokkan dalam himpunan B, makarelasi ibukota propinsi dari himpunan A ke himpunan Bdinyatakan dalam diagram panah sebagai berikut.Banjarmasin Samarinda Palangkaraya Pontianak xKalimantan Selatan xKalimantan Timur xKalimantan Tengah xKalimantan Barat ABIbukota propinsiApakah relasi dari himpunan A ke himpunan B merupakanpemetaan ?Sebaliknya, apabila kita membuat relasi ibukotanya adalah darihimpunan B ke himpunan A, maka diagram panahnya adalahsebagai berikut.
44 Bab. 2 FungsixBanjarmasin xSamarinda xPalangkaraya xPontianak Kalimantan SelatanKalimantan Timur Kalimantan Tengah Kalimantan Barat BA Ibukotanya adalahApakah relasi dari himpunan B ke himpunan A merupakanpemetaan?Selanjutnya, kita akan menggambarkan kedua relasi tersebutdalam satu diagram panah. Jika relasi ibukota propinsidinotasikan dengan f dan relasi ibukotanya adalah dinotasikang, maka kedua diagram panah di atas dapat digambar sebagaiberikut.gBanjarmasin ŏSamarinda ŏPalangkaraya ŏPontianakŏxKalimantan Selatan xKalimantan Timur xKalimantan Tengah xKalimantan Barat A BfKedua relasi f dan g adalah fungsi (kenapa?). Fungsi fmemetakan himpunan A kepada himpunan B, sebaliknyafungsi g memetakan himpunan B kepada himpunan A.Pemetaan yang bersifat bolak-balik, baik untuk f dan g disebutkorespondensi satu satu.Berpikir KritisSelidiki sifat-sifat korespondensi satu-satu!1.Sifat apa yang dimiliki fungsi f? Bagaimana domain,kodomain, dan daerah hasil dari f?2.Sifat apa yang dimiliki fungsi g? Bagaimana domain,kodomain, dan daerah hasil dari g?
Matematika SMP Kelas VIII 4 51.Diagram panah berikut ini menunjukkan relasi antara duahimpunan. Relasi manakah yang merupakan fungsi ?a ŏb ŏc ŏxd xe xf xg A Ba.1 ŏ2 ŏ3 ŏ4ŏxa xb xc xd C Db.p ŏq ŏr ŏxa xb xc xd E Fc.a ŏb ŏc ŏd ŏx2 x5 G Hd.Perhatian!1. Bila kodomain (f)= daerah hasil (f), maka fungsi fdinamakan fungsi pada.2. Bila peta f pada x1 dan x2 (yaitu f (x1 ), f (x2 ) berbeda untuksetiap x1 dan x2 berbeda, maka fungsi dinamakan fungsisatu-satu3. Bila peta f hanya memuat satu anggota (hanya memilikianggota tunggal), maka fungsi f dinamakan fungsi konstan.Latihan 2.2
46 Bab. 2 Fungsi2.Diketahui A = {2, 5, 7, 9} dan B = {7, 10, 12, 14, 16}.Jika hubungan anggota A dengan anggota B ditunjukkandengan 2 o 7, 5 o 10, 7 o 12, dan 9 o 14, maka :a. Gambarlah diagram panah relasi dari himpunan A keB.b. Sebutkan relasi yang mungkin dari himpunan A ke B.c. Apakah relasi tersebut merupakan fungsi? Jelaskan!3.Diketahui suatu relasi dari himpunan P ke himpunan Qyang dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan{(-1, 2), (1, 4), (3, 6), (5, 8), (7, 10)}.a. Sebutkan anggota-anggota himpunan P dan Q.b. Sebutkan dua relasi lain yang mungkin dari himpunanP ke himpunan Q.c. Gambarlah koordinat Cartesius dari relasi tersebut.d. Jika himpunan P merupakan daerah asal dari relasi (b)dan dengan melihat koordinat Cartesius pada (c), apakahrelasi dari himpunan P ke himpunan Q merupakanfungsi?4.Andaikan x anggota himpunan C yaitu himpunan bilanganasli ganjil yang kurang dari 10 dan himpunan D yaituhimpunan bilangan asli genap yang kurang dari 19. Relasiyang menghubungkan himpunan C dan D adalah setengahdari.a. Sebutkan anggota-anggota himpunan C dan anggota-anggota himpunan D.b. Sebutkan semua pasangan berurutan dari relasitersebut.c. Apakah relasi di atas merupakan fungsi ?d. Jika ya, tentukan daerah hasil.e. Tentukan relasi lain yang menghubungkan himpunanC dan D!f.Apakah relasi di atas merupakan fungsi ?g. Jika ya, tentukan daerah hasil.5.Diketahui A = { p, q, r } dan B = { 2, 3, 4 }a. Buatlah semua pemetaan yang mungkin dari himpunanA ke himpunan B dengan diagram panah.b. Tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin darihimpunan A ke himpunan B.
Matematika SMP Kelas VIII 4 75. Diketahui A = { 2, 3, 5 } dan B = { 21, 25, 26 }a.Misal pemetaan yang digunakan untukmenghubungkan himpunan A ke himpunan B adalahfaktor dari. Gambarkan diagram panahnya.b.Misal pemetaan yang digunakan untukmenghubungkan himpunan B ke himpunan A adalahkelipatan dari. Gambarkan diagram panahnya.c.Apakah terdapat korespondensi satu-satu antarahimpunan A dan himpunan B? Gambarkan diagrampanahnya.
48 Bab. 2 FungsiPerhatikan diagram panah berikut ini :2 ŏ3 ŏ4 ŏ5 ŏx1 x2 x3 x4 x5 x6KLdikurangi satu menjadiPada diagram panah di atas, tampak bahwa :2 o 1, dibaca 2 dikurangi satu menjadi1 atau 2 satu lebihnya dari 1.3 o 2, dibaca 3 dikurangi satu menjadi2 atau 3 satu lebihnya dari 2.4 o 3, dibaca 4 dikurangi satu menjadi3 atau 4 satu lebihnya dari 3.5 o 4, dibaca 5 dikurangi satu menjadi4 atau 5 satu lebihnya dari 4.Secara umumBila kita mengambil sebarang anggota K, sebutx, maka kawannya di L adalah (x – 1). (Kenapa?)Dengan demikian, bila dinotasikan dengandiagram panah menjadix o (x – 1)dibaca x dikurangi 1 menjadi (x – 1).Apakah relasi di atas merupakan fungsi ?Apa yang akan kamupelajari?xMenghitung nilai fungsiMenyusun tabel fungsixMenghitung nilaiperubahan fungsi jikavariabel berubahxMenentukan bentuk fungsijika nilai dan data fungsidiketahuiKata Kunci:xFungsi (Pemetaan)xRumus fungsixTabel FungsixNilai fungsixVariabelxDiagram Panah2.3Menghitung Nilai Fungsi
Matematika SMP Kelas VIII 4 9Jika relasi satu lebihnya dari dinotasikan sebagai relasi f,maka f memetakan x ke (x – 1). Selanjutnya relasi f dituliskansebagaif : x o (x – 1).Apabila relasi f ini merupakan fungsi , maka (x – 1) menyatakanpeta dari x dan petax oleh f dinotasikan sebagai f(x).Notasi f(x) = (x – 1) dikenal juga sebagai aturan fungsi , rumusfungsi, atau persamaan fungsi. Akan tetapi, notasi tersebutsering hanya dibaca fungsi f.Bila kita notasikan f(x) = y maka rumus fungsi f(x) = (x – 1)menjadiy = x –1. Persamaan y = x –1 lebih dikenal sebagai persamaanfungsi.Pada persamaan tersebut x disebut variabel bebas, sedangkany adalah variabel tak bebas dari fungsi. Perhatikan kembali fungsi f dengan aturan xo (x – 1).Untuk x = 2, maka f(2) = 2 –1 = 1. Nilai f(2) = 1 disebut nilaifungsi untuk x = 2. Nilai fungsi dari setiap anggota himpunanK dapat dinyatakan dalam tabel fungsi berikut.x 2 3 4 5 -1 -1 -1 -1 -1 f(x) = x - 1 1 2 3 4 Grafik berikut merupakan koordinat Cartesius untuk fungsi f.5435241321xxxxY X 0Jelaskan bagaimana cara kamu memperoleh grafik tersebut?
50 Bab. 2 FungsiDiketahui suatu fungsi f dengan daerah asal A = {7, 9, 11, 13}dengan rumus fungsi f(x) = 2x 3a.Tentukan f(7) , f(9), f(11) dan f(13). Kesimpulan apa yangdapat kamu peroleh?b.Buatlah tabel fungsi di atas.c.Tentukan daerah hasilnya.d.Gambarlah grafik fungsi dalam koordinat Cartesius.Diketahui suatu fungsi g dengan daerah asal P = { x « x t 3, xbil. real} dengan rumus fungsi g(x) = 3x + 4.a.Buatlah tabel fungsi di atas dengan mengambil beberapanilai x.b.Tentukan daerah hasilnya.c.Gambarlah grafik fungsi dalam koordinat Cartesius.Berpikir KritisBandingkan grafik fungsi f pada soal 1 dan grafik fungsi gpada soal 2!Apa yang dapat kamu simpulkan?Di depan telah dijelaskan cara menggambar diagram panahatau koordinat Cartesius dari suatu fungsi, jika diketahui daerahasal dan rumus fungsinya. Sekarang kerjakan masing-masingpertanyaan berikut, gunakan koordinat Cartesius untukmenjawab pertanyaan tersebut. Terakhir, kesimpulan apa yangdapat kamu peroleh!Perhatikan grafik suatu fungsi f berbentuk garis lurus padakoordinat Cartesius di bawah.a.Tentukan daerah asal fungsi f.b.Tentukan daerah hasil fungsi f.c.Tentukan nilai-nilai fungsi f untuk x = -1, x = 0, x = 1, x = 2.Dapatkah kamu menemukan pola dari fungsi dan nilainya?d.Tentukan rumus fungsi f berdasarkan (c)?Soal 1Soal 2
Matematika SMP Kelas VIII 5 1 5 4 3 5 2 4 1 321 Y X 6 7 8 9 -7 -4 -1 -2 -1 0 xxxxxx1.Diketahui suatu fungsi f dengan rumus f(x) = -x + 3 dengandaerah asal K = {-3, -1, 1, 3, 5, 7}.a.Buatlah tabel nilai fungsi fb.Tentukan nilai fungsi f untuk x = -3, x = 5c.Tentukan daerah hasil fungsi f.d.Gambarlah grafik fungsi f pada koordinat Cartesiuse.Berupa apakah grafik fungsi f?2.Diketahui suatu fungsi g dengan rumus g(x) = 3x - 1 dengandaerah asal A = {x « 1 d x d 5, x bilangan real}.a.Tentukan nilai fungsi f untuk x = 3, x = 29b.Tentukan daerah hasil fungsi g.c.Gambarlah grafik fungsi g pada koordinat Cartesiusd.Berupa apakah grafik fungsi g?Latihan 2.3
52 Bab. 2 Fungsi3.Perhatikan grafik fungsi f pada koordinat Cartesiusberikut.a.Tentukan daerah hasil fungsi f.b.Tentukan nilai fungsi f untuk x = 0, x = 1, x = 2, x = 3 dan x= 4.Pola apakah yang kamu peroleh?c.Tentukan rumus fungsi f berdasarkan (b)?Diskusikana.Diketahui suatu fungsi g dengan rumus g(x) = ax + 7. Nilaifungsi g untuk x = -2 adalah 1.Coba tentukan nilai fungsi g untuk x = 5.Tentukan rumus fungsi g. Jelaskan caramu!b.Diketahui suatu fungsi f dengan rumus f(x) = -2x + b. Nilaifungsi f untuk x = -1 adalah 11. Coba tentukan nilai fungsif untuk x = 3. Tentukan rumus fungsi f. Jelaskan caramu! 5 4 3 5 2 4 1 321 Y X 6 7 8 9 -3 -2 -1 -2 -1 0 xxxxx
Matematika SMP Kelas VIII 5 3Setelah mempelajari Bab 2 coba kamu ingat, adakah bagianyang belum kamu fahami? Jika ada, coba pelajari kembaliatau diskusikan dengan temanmu!Buatlah rangkuman tentang apa yang telah kamu fahami dancatatlah hal-hal yang sulit kamu fahami.Coba kamu jelaskan,a.Arti relasi dari himpunan A ke himpunan B dan berilahcontoh!b.Arti fungsi dari himpunan P ke himpunan Q, beri contohserta sebutkan domain, kodomain dan rangenya!Pada saat pembelajaran apakah kamu merasakan tidaksenang karena takut, jemu, sulit memahami ataukahmerasakan senang? Sampaikan hal itu kepada Bapak/Ibuguru.Rangkuman1.Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yangmenghubungkan anggota-anggota himpunan A dengananggota-anggota himpunan B2.Relasi antara dua himpunan X dan Y, dapat dinyatakansebagai himpunan pasangan berurutan (x, y) dengan xanggota himpunan pertama (X) dan y anggota himpunankedua (Y).3.Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yangmenghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepatsatu anggota himpunan B.4.Jika f adalah fungsi A ke B, maka A disebut daerah asal(domain), B disebut daerah kawan (kodomain.)Himpunan anggota B yang mempunyai prapeta disebutdaerah hasil (range).Evaluasi Bab 21. Relasi yang dapat dibuat dari himpunan }6,5,3,2{Ake}15,12,10,4{Badalah ....a. “setengah dari”b. “lebih dari”c. “faktor dari”d. “dua kali dari”Refleksi
54 Bab. 2 Fungsi2.Diketahui suatu fungsi f dengan rumus f(x) = x2 – 5x, nilai-nilai fungsi berikut yang benar adalah ....a. f(-1) = 6b. f(3) = 6c. f(-2) = -6d. f(2) = -63.Diketahui P= {1, 2} dan Q = {a, b, c}, banyaknya pemetaanyang dapat dibuat dari himpunan P ke himpunan Q adalah....a. 5b. 6c. 8d. 94.Diketahui suatu fungsi g dengan rumus g(x) = ax 5.Nilai fungsi g untuk x = -1 adalah 3. Nilai a yang memenuhiadalah ....a. 8b. 3c. – 3d. – 85.Suatu fungsi f dengan rumus f(x) = x2 – 1. Jika domainfungsi f adalah {x | -2 dxd 3, x R}, maka kodomain fadalah ....a. {y | -5 dyd 8, y R}b. {y | -4 dyd 8, y R}c. {y | 4 dyd 8, y R}d. {y | 3 dyd 8, y R}6.Diketahui suatu relasi dari himpunan A ke himpunan Byang dinyatakan dengan himpunan pasanganberurutan {(-2, 4), (-1,-3), (2, 6), (7,10), (8, -5)}.a.Tulislah himpunan A dan B.b.Gambarlah koordinat Cartesius dari relasi tersebut.c.Apakah relasi itu merupakan fungsi? Jelaskan!7.Diketahui A = { a, b, c } B = { -1, 0 }a.Buatlah semua pemetaan yang mungkin darihimpunan A ke himpunan Bb.Tentukan banyaknya pemetaan yang dapat dibuat?8.Diketahui suatu fungsi f dengan rumus52)( xxfdengan daerah asal M = {-5, -1, 2, 6, 8 }.a.Tentukan nilai fungsi f untuk x = -5, x = 8b.Tentukan daerah hasil fungsi f.c.Gambarlah grafik fungsi f pada koordinat Cartesius